Vorlesung Einführung in die mathematische Logik und Modelltheorie

Will man verstehen, worum es in der Mathematik eigentlich geht, führt dies sehr schnell in Bereiche, die die Grundlagen der menschlichen Erkenntnis an sich betreffen. Was bedeutet -wahr- und -falsch- und wie hängen das -Wahre- und das -Beweisbare- miteinander zusammen? Hierbei ist es zunächst unabdingbar, die Begriffe -wahr- und -beweisbar- und das, worauf sie sich beziehen, erst einmal vernünftig zu definieren. Die Mengenlehre verdankt ihre Entstehung diesem Bedürfnis, und die dabei aufgetretenen Schwierigkeiten (Russelsche Antinomie, u.a.) zeigen, dass dies Vorhaben schwieriger war als zunächst gedacht. Auch Hilberts Optimismus anfang des 20. Jahrhunderts, dass sämtliche wahren Sätzen der Mathematik sich in einem endlichen Verfahren des formalen Schließens aus einem endlichen Axiomensystem erhalten ließen, wurde in den dreißiger Jahren durch die Arbeit des jungen Kurt Gödel jäh zerstört. Gödels Unvollständigkeitssätze zeigen, dass es kein in diesem Sinne vollständiges Axiomensystem der Mathematk geben kann. Auch die Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems lässt sich nicht mit den Mitteln des Systems zeigen. In der angekündigten Vorlesung wollen wir die Grundlagen der Modelltheorie soweit legen, um einen Beweis der Unvollständigkeit der Zahlentheorie geben zu können. Wir werden außerdem die Vollständigkeit weiterer Theorien wie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer festen Charakteristik, und wenn die Zeit es erlaubt, auch noch die der algebraisch abgeschlossenen bewerteten Körper zeigen. Als wesentliche Referenz für die Vorlesung dient das Buch von Alexander Prestel, Einführung in die math. Logik und Modelltheorie, Vieweg Verlag. VoraussetzungenFür das Vorwissen reichen Grundkenntnissen in mathematischer Logik. Nützlich wären ferner Kenntnisse über Ordinal- und Kardinalzahlen, hierzu wird aber in der Vorlesung das nötige Wissen vermittelt. LeistungsnachweisEin Schein kann erworben werden. FB 17 Mathematik Uni Kassel WS 2006/2007 Mathematik FB 17 Mathematik Labus Robert