Dynamische Systeme

Unter einem dynamischen System versteht man das mathematische Modell eines zeitabhängigen Prozesses, häufig motiviert durch Probleme aus der Wirtschaft, aus Natur- und Lebenswissenschaften sowie technischen Anwendungen. Typische Beispiele dynamischer Systeme sind Märkte, Modelle der Himmelsmechanik, Klimamodelle, chemische Reaktionskinetik, elektrische Schaltkreise sowie Fragestellungen der mathematischen Biologie (z.B. Räuber-Beute- und Epidemie-Modelle). Man unterscheidet zwischen dynamischen Systemen mit diskreter Zeit, die durch eine einfache Rekursionsvorschrift gegeben sind, und dynamischen Systemen mit kontinuierlicher Zeit, welche durch Differentialgleichungen beschrieben werden. In der Theorie der dynamischen Systeme geht es darum, das qualitative Verhalten von Lösungen eines dynamischen Systems zu klären, ohne einzelne Lösungen analytisch oder numerisch bestimmen zu müssen. Typische Fragestellungen sind hierbei: - Existenz/Eindeutigkeit von Lösungen (im Fall kontinuierlicher Zeit) - Existenz und Stabilität von Gleichgewichtspunkten - Verhalten/Beschränktheit der Lösung für große Zeiten - Existenz zeitlich periodischer Lösungen - Änderung des qualitativen Verhaltens bei Variation von Parametern (Verzweigung/Bifurkation, Chaos) - Erhaltungseigenschaften Die Vorlesung liefert eine Einführung in die mathematische Behandlung dynamischer Systeme mit endlich-dimensionalem Zustandsraum. Zur Klärung der Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen bei kontinuierlicher Zeit behandelt die Vorlesung auch die Theorie linearer und nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen. Vorlesung und Übung sind konzipiert für Studenten ab dem 3. Fachsemester (Vorkenntnisse: Analysis I/II, Lineare Algebra I/II). - L. Grüne/O. Junge, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner, 2009 - L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, 3rd ed., Springer, 2001 - J. Prüss/M. Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme, Springer, 2010 - G. Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS, 2012 (Vorabversion: http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf) - S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, 2nd ed., Springer, 2003 - parallel zur Vorlesung wird ein Skript erstellt Mathematik, Bachelor, PO 2012 Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen und mündl. Prüfung. Universität Siegen WiSe 2013/14 Mathematik, Bachelor, PO 2003 Mathematik, Bachelor, PO 2006 Jun.-Prof. Raasch Thorsten Jun