Seminar Seminar zur Algebra

Der Hauptsatz der endlichen Galois-Theorie, das eigentliche Hauptergebnis jeder Algebra-Vorlesung, beschreibt für endliche Galois-Erweiterungen explizite Bijektionen zwischen den Zwischenkörpern der Erweiterung und den Untergruppen der Galois-Gruppe. Die a priori komplizierte Welt der Körpererweiterungen kann also vollständig in der meist einfacheren Welt der Gruppen beschrieben werden! Um den Hauptsatz auf unendliche Galois-Erweiterungen auszudehnen, muss man eine Topologie auf der Galois-Gruppe einführen, also in einem geeigneten Sinn Begriffe wie offene und abgeschlossene Mengen und Untergruppen definieren. Tut man dies auf sehr natürliche Weise, gelangt man zum Hauptsatz der unendlichen Galois-Theorie, der wiederum explizite Bijektionen zwischen den Zwischenkörpern der Erweiterung und den abgeschlossenen Untergruppen der Galois-Gruppe gibt. Im Seminar werden wir den Hauptsatz der unendlichen Galois-Theorie im Detail erklären und beweisen. Dazu werden wir Schritt für Schritt die nötigen Begriffe einführen. Dabei werden folgende, auch außerhalb des Seminars sehr wichtige, Themen behandeln: • Topologien: Definition und Beispiele. • Topologische Gruppen: Beispiele Lie-Gruppen, proendliche Gruppen. • p-adische Zahlen (zahlentheoretische Variante der reellen Zahlen). • Berechnung der absoluten Galois-Gruppe eines endlichen Körpers. • Galois-Darstellungen. Die unendliche Galois-Theorie und alle im Seminar behandelten Begriffe und Techniken finden weitreichende Anwendungen in der gesamten ``reinen Mathematik''. Die Vorbesprechung findet am Mittwoch, dem 4. Februar 2009, um 11 Uhr in T03 R04 D10 statt. Bei der Vorbesprechung werden bereits die ersten Vorträge verteilt. Sollten Sie an diesem Termin verhindert sein oder ihn verpasst haben, senden Sie bitte eine E-Mail. Die Literatur wird bei der Vorbesprechung bekannt gegeben und ist dem Programm zu entnehmen, das ab der Vorbesprechung zur Verfügung steht. Mathematik Lineare Algebra und Analysis für die ersten Vorträge; später auch Algebra 1. Ein Leistungsnachweis wird erteilt für einen Vortrag, der den Kriterien Rechnung trägt, wie sie zum Beispiel auf http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag beschrieben sind. Universität Duisburg-Essen SS 2009 LGyGe, Lehramt an Gymnasien u. Gesamtschulen Professor Wiese Gabor