Vorlesung Algebraische Zahlentheorie II

In der Vorlesung Algebraischen Zahlentheorie vom Sommersemester wurden die Struktur der Zahlkörper und ihrer Ganzheitsringe vorgestellt und Anwendungen dieser Theorie im Bereich der Elementaren Zahlentheorie diskutiert. Als Fortführung dieses Themas behandeln wir im ersten Teil dieser Vorlesung die Theorie der lokalen Zahlkörper. Diese entstehen durch Komplettierung der Zahlkörper bezüglich geeigneter Bewertungen, analog zur bekannten Konstruktion der reellen durch Komplettierung der rationalen Zahlen. Das Interesse an diesen Körpern ist durch ihre im Vergleich zu den Zahlkörpern sehr einfache algebraische Struktur zu erklären. Ihre Kenntnis ist Grundvoraussetzung für viele weiterführende Themen der aktuellen zahlentheoretischen Forschung. Das Ziel der Klassenkörpertheorie ist die Untersuchung der abelschen Erweiterungen eines Zahlkörpers K, also der Galois-Erweiterungen von K mit abelscher Galoisgruppe. Als Ergebnis dieser Theorie erhält man unter anderem eine vollständige Beschreibung eine vollständige Beschreibung des Zerlegungsverhaltens der Primideale von \cal{O}K in diesen Erweiterungen und im Zusammenhang damit eine weitreichende Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Weil auch die Klassenkörpertheorie über den lokalen Zahlkörpern leichter zugänglich ist, werden wir uns bei den Beweisen auf diesen Fall beschränken. In beiden Vorlesungsteilen werden Hilfsmittel zum Einsatz kommen, die auch in anderen Bereichen der Algebra und Algebraischen Geometrie benötigt werden, unteren anderem die Grundbegriffe der Kategorientheorie und der Homologischen Algebra. • E. Artin, J. Tate, Class Field Theory • J. Milne, Algebraic Number Theory und Class Field Theory (Skripten) • J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie • P. Ribenboim, The Theory of Classical Valuations • J.-P. Serre, Corps Locaux Voraussetzungen Gute Algebrakenntnisse und Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie. Der Stoff der Algebraischen Zahlentheorie I ist wichtig für die Motivation, für das Verständnis der Vorlesung aber nicht zwingend erforderlich. Leistungsnachweis Gilt für Masterprüfung Mathematik (WP36), Diplomhauptprüfung Mathematik (RM). Zielgruppe Studierende im Masterstudiengang Mathematik mit Schwerpunkt Zahlentheorie oder Arithmetische Geometrie Department Mathematisches Institut Gute Algebrakenntnisse und Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie. Der Stoff der Algebraischen Zahlentheorie I ist wichtig für die Motivation, für das Verständnis der Vorlesung aber nicht zwingend erforderlich. Gilt für Masterprüfung Mathematik (WP36), Diplomhauptprüfung Mathematik (RM). LMU München WiSe 1415 Dr. Gerkmann Ralf