Vorlesung Dirichletreihen und Zetafunktionen

(Dies ist eine Vorlesung Funktionentheorie II und gleichzeitig eine Einführung in die Analytische Zahlentheorie) Dirichletreihen sind Reihen der Gestalt f(s) = \sumn>0 an / ns, wobei s eine komplexe Variable ist. Im Gegensatz zu Potenzreihen, deren Konvergenzgebiete Kreise sind, konvergieren Dirichletreihen in Halbebenen der Gestalt Re(s) > c. Die bekannteste Dirichletreihe ist die Riemannsche Zetafunktion, bei der alle Koeffizienten an = 1 sind. Sie konvergiert in der Halbebene Re(s) > 1. Bereits Euler stellte einen Zusammenhang zur Zahlentheorie her, indem er zeigte, dass die Divergenz der Zetareihe für s = 1 (harmonische Reihe) impliziert, dass die Summe der reziproken Primzahlen 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... ebenfalls divergiert. Dirichlet benutzte die nach ihm benannten Reihen, um den Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen zu beweisen (z.B. gibt es asymptotisch etwa gleich viele Primzahlen der Form 4n+1 und 4n+3). Riemann zeigte, dass man die Zetafunktion holomorph in die ganze komplexe Ebene bis auf einen Pol an der Stelle s=1 fortsetzen kann. Dabei stellte er die berühmte, bis heute unbewiesene Vermutung auf, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der Geraden Re(s)=1/2 liegen. Diese Vermutung hängt eng mit Eigenschaften der Primzahlverteilung zusammen. Außer der Riemannschen Zetafunktion behandeln wir in der Vorlesung noch die Dedekindschen Zetafunktionen für quadratische Zahlkörper. Nähere Einzelheiten siehe Homepage des Dozenten: http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster Apostol: Introduction to analytic number theory. Springer 1976 Edwards: Riemann's Zeta Function. Academic Press 1974. Reprint Dover Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer 1981 Voraussetzungen Funktionentheorie I, Algebra I Leistungsnachweis Gilt für Masterprüfung Mathematik (WP36), erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien gemäß LPO I/2002 § 77(1) 2. Zielgruppe Interessierte Studierende der Mathematik (Bachelor, Master, Lehramt) Department Mathematisches Institut Funktionentheorie I, Algebra I Gilt für Masterprüfung Mathematik (WP36), erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien gemäß LPO I/2002 § 77(1) 2. LMU München WiSe 1415 Prof. em. Dr. Forster Otto em